若函数 $f(x)=x^4+2x^3+4x^2+cx$ 的图象关于直线 $x=m$ 对称，则 $f(x)$ 的最小值是 ．（用小数表示）
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-0.6875$
【解析】
考虑 $f(x)$ 的一阶导数与二阶导数：\[\begin{aligned}f'(x)&=4x^3+6x^2+8x+c,\\
f''(x)&=12x^2+12x+8,\end{aligned}\]所以 $x=m$ 就是 $f''(x)$ 的对称轴 $x=-\dfrac 12$，即 $m=-\dfrac 12$．从而有$$f(0)=0=f(-1)=1-2+4-c,$$解得 $c=3$．于是$$f'(x)=4x^3+6x^2+8x+3=(2x+1)(2x^2+4x+3)$$有唯一零点 $x=-\dfrac 12$，所以 $f(x)$ 的最小值只能在 $x=-\dfrac 12$ 处取到，有$$f\left(-\dfrac 12\right)=\dfrac 1{16}-\dfrac 14+1-\dfrac 32=-\dfrac {11}{16}.$$
f''(x)&=12x^2+12x+8,\end{aligned}\]所以 $x=m$ 就是 $f''(x)$ 的对称轴 $x=-\dfrac 12$，即 $m=-\dfrac 12$．从而有$$f(0)=0=f(-1)=1-2+4-c,$$解得 $c=3$．于是$$f'(x)=4x^3+6x^2+8x+3=(2x+1)(2x^2+4x+3)$$有唯一零点 $x=-\dfrac 12$，所以 $f(x)$ 的最小值只能在 $x=-\dfrac 12$ 处取到，有$$f\left(-\dfrac 12\right)=\dfrac 1{16}-\dfrac 14+1-\dfrac 32=-\dfrac {11}{16}.$$
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