已知向量 $\overrightarrow{a}=(0,1)$，$\overrightarrow{b}=\left(-\dfrac{\sqrt 3}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{c}=\left(\dfrac{\sqrt 3}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$，$x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}=(1,1)$，则 $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2013年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
由 $x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}=(1,1)$，得\[\begin{cases}-\dfrac{\sqrt 3}{2}y+\dfrac{\sqrt 3}{2}z=1,\\ x-\dfrac{y}{2}-\dfrac{z}{2}=1,\end{cases}\]即\[\begin{cases}-\dfrac{\sqrt 3}{2}(y-z)=1,\\ x-\dfrac{y+z}{2}=1,\end{cases}\]进一步变形，得 $\begin{cases}y-z=-\dfrac{2}{\sqrt 3},\\ y+z=2(x-1).\end{cases}$
由于\[\begin{split}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=x^{2}+\dfrac{(y+z)^{2}+(y-z)^{2}}{2}\\&=x^{2}+2(x-1)^{2}+\dfrac{2}{3}\\&=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{2}+\dfrac{4}{3},\end{split}\]所以 $3(x^2+y^2+z^2)\geqslant 4$．
由于\[\begin{split}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=x^{2}+\dfrac{(y+z)^{2}+(y-z)^{2}}{2}\\&=x^{2}+2(x-1)^{2}+\dfrac{2}{3}\\&=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{2}+\dfrac{4}{3},\end{split}\]所以 $3(x^2+y^2+z^2)\geqslant 4$．
题目
答案
解析
备注
