如图，点 $P$ 在等边 $\triangle ABC$ 内，$PA=2$，$PB=2\sqrt 3$，$PC=4$，则 $\triangle ABC$ 的边长是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt7$
【解析】
如图，将 $\triangle APB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60^\circ$ 至 $\triangle ADC$．
则 $CD=BP=2\sqrt 3$．
连接 $PD$，则 $\triangle ADP$ 为等边三角形，
所以 $DP=DA=PA=2$，
从而 $CD^2+PD^2=CP^2$，
所以 $\angle CDP=90^\circ$．
过点 $A$ 作 $AE\perp CD$，交 $CD$ 的延长线于点 $E$，则 $\angle ADE=30^\circ$．
所以 $AE=\dfrac 12 AD=1$，$DE=\dfrac{\sqrt 3}2 AD=\sqrt 3$，
从而 $AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{1+(3\sqrt 3)^2}=2\sqrt 7$．
则 $CD=BP=2\sqrt 3$．连接 $PD$，则 $\triangle ADP$ 为等边三角形，
所以 $DP=DA=PA=2$，
从而 $CD^2+PD^2=CP^2$，
所以 $\angle CDP=90^\circ$．
过点 $A$ 作 $AE\perp CD$，交 $CD$ 的延长线于点 $E$，则 $\angle ADE=30^\circ$．
所以 $AE=\dfrac 12 AD=1$，$DE=\dfrac{\sqrt 3}2 AD=\sqrt 3$，
从而 $AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{1+(3\sqrt 3)^2}=2\sqrt 7$．
题目
答案
解析
备注
