四边形 $ABCD$ 被对角线 $BD$ 分为等腰 $\mathrm {Rt}\triangle ABD$ 和 $\mathrm {Rt}\triangle CBD$，其中 $\angle BAD$ 和 $\angle BCD$ 都是直角，另一条对角线 $AC$ 的长度为 $2$，则四边形 $ABCD$ 的面积为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 至 $\triangle ADE$．
所以 $\angle CAE=90^\circ$，$\angle ADE=\angle ABC$，$AC=AE$．
由题意知 $\angle ADE+\angle ADC=\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$，
所以 $C,D,E$ 三点共线，
从而 $S_{ 四边形 ABCD}=S_{\triangle ACE}=\dfrac 12 AC^2=2$．
所以 $\angle CAE=90^\circ$，$\angle ADE=\angle ABC$，$AC=AE$．由题意知 $\angle ADE+\angle ADC=\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$，
所以 $C,D,E$ 三点共线，
从而 $S_{ 四边形 ABCD}=S_{\triangle ACE}=\dfrac 12 AC^2=2$．
题目
答案
解析
备注
