尝试使用分离变量和不分离变量两种方法解决问题．
分离变量原命题等价于$$\begin{cases} \forall x\in (0,1],a\geqslant -\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac 1x,\\ \forall x \in [-2,0),a\leqslant -\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac 1x,\end{cases}$$也即$$\begin{cases} \forall x \geqslant 1,a\geqslant -3x^3-4x^2+x,\\ \forall x\leqslant -\dfrac 12,a\leqslant -3x^3-4x^2+x.\end{cases}$$记函数 $f(x)=-3x^3-4x^2+x$，则其导函数 $f'(x)=-(9x-1)(x+1)$，于是函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上的最大值为 $f(1)=-6$；函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]$ 上的最小值为 $f(-1)=-2$．因此 $a$ 的取值范围是 $[-6,-2]$．
不分离变量设 $f(x)=ax^3-x^2+4x+3$，则由$$\begin{cases} f(-2)=-8a-9\geqslant 0,\\ f(1)=a+6\geqslant 0,\end{cases}$$解得 $-6\leqslant a\leqslant -\dfrac 98$．考虑函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=3ax^2-2x+4,$$可得 $f'(x)$ 在区间 $[-2,1]$ 上存在两个不同零点，因此只需要这两个极值点处满足不等式即符合题意．记极值点为 $m$，则$$3am^2-2m+4=0,$$于是$$3f(m)=3am^3-3m^2+12m+9=(2m^2-4m)-3m^2+12m+9 =(9-m)(m+1),$$因此只需要 $m\geqslant -1$，也即 $f'(-1)=3a+6\leqslant 0$，从而 $a\leqslant -2$．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $[-6,-2]$．