设 $f(x)=ax^3-x^2+4x+3$，则由$$\begin{cases} f(-2)=-8a-9\geqslant 0,\\ f(1)=a+6\geqslant 0,\end{cases}$$解得 $-6\leqslant a\leqslant -\dfrac 98$．考虑函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=3ax^2-2x+4,$$可得 $f'(x)$ 在区间 $[-2,1]$ 上存在两个不同零点，因此只需要这两个极值点处满足不等式即符合题意．记极值点为 $m$，则$$3am^2-2m+4=0,$$于是$$3f(m)=3am^3-3m^2+12m+9=(2m^2-4m)-3m^2+12m+9 =(9-m)(m+1),$$因此只需要 $m\geqslant -1$，也即 $f'(-1)=3a+6\leqslant 0$，从而 $a\leqslant -2$．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $[-6,-2]$．