已知 $a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的角 $A,B,C$ 的对边，$a = 2$，且 $\left(2 + b\right)\left(\sin A - \sin B\right) = \left(c - b\right)\sin C$，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅰ卷（理）
【标注】
【答案】
$\sqrt3$
【解析】
由已知条件结合正弦定理可得$$(a+b)(a-b)=(c-b)c,$$整理得 $b^2+c^2-a^2=bc$，从而由余弦定理可得 $A=\dfrac{\mathrm \pi} 3$．
由于三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 所对的角 $A$ 为定角 $\dfrac{\mathrm \pi} 3$，因此 $\triangle ABC$ 的外接圆的半径是定值．作 $\triangle ABC$ 的外接圆，固定 $B,C$，则 $A$ 在优弧 $BC$ 上运动（不包含端点），以 $BC$ 为底边考虑 $\triangle ABC$ 的面积，当 $A$ 平分优弧 $BC$ 时 $BC$ 边上的高最大，因此三角形面积取得最大值，此时三角形为正三角形，面积为 $\dfrac{\sqrt 3}4\cdot 2^2=\sqrt 3$．
由于三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 所对的角 $A$ 为定角 $\dfrac{\mathrm \pi} 3$，因此 $\triangle ABC$ 的外接圆的半径是定值．作 $\triangle ABC$ 的外接圆，固定 $B,C$，则 $A$ 在优弧 $BC$ 上运动（不包含端点），以 $BC$ 为底边考虑 $\triangle ABC$ 的面积，当 $A$ 平分优弧 $BC$ 时 $BC$ 边上的高最大，因此三角形面积取得最大值，此时三角形为正三角形，面积为 $\dfrac{\sqrt 3}4\cdot 2^2=\sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
