已知实数 $a,b,c$ 成等差数列（$a,b$ 不全为 $0$），点 $A(0,-3)$ 在直线 $ax+by+c=0$ 上的射影为 $M$，点 $N(2,3)$，则 $|MN|$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt{130}+\sqrt{2}}2$
【解析】
由于 $2b=a+c$，于是直线恒过点 $T(1,-2)$，注意到 $AM\perp TM$，于是 $M$ 在以 $AT$ 为直径的圆上．圆心坐标为 $B\left(\dfrac 12,-\dfrac 52\right )$，半径为 $r=\dfrac 12|AT|=\dfrac{\sqrt 2}{2}$．于是 $|MN|$ 的最大值为$$|BN|+r=\sqrt{\left(2-\dfrac 12\right)^2+\left(3+\dfrac 52\right)^2}+\sqrt{\dfrac 12}=\dfrac{\sqrt{130}+\sqrt{2}}2.$$
题目
答案
解析
备注
