已知 $f(x)=x+x\ln x$，若 $k\in\mathbb Z$，且 $k(x-2)<f(x)$ 对任意 $x>2$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
题意即$$\forall x>2,k<\dfrac{x+x\ln x}{x-2},$$设右边为 $\varphi(x)$，则$$\varphi'(x)=\dfrac{x-2\ln x-4}{(x-2)^2},$$由于$$\left(x-2\ln x-4\right)'_x=1-\dfrac 2x>0,$$于是 $\varphi'(x)$ 有唯一零点 $x_0\in (8,10)$，从而 $\varphi(x)$ 的极小值，亦为最小值$$\varphi(x_0)=\dfrac{x_0+x_0\ln x_0}{x_0-2}=\dfrac{x_0+x_0\cdot \dfrac 12(x_0-4)}{x_0-2}=\dfrac {x_0}2\in (4,5),$$于是 $k$ 的最大值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
