已知 $f(x)=x+x\ln x$，若 $k\in\mathbb Z$，且 $k(x-2)<f(x)$ 对任意 $x>2$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
题意即$$\forall x>2,x\ln x+(1-k)x+2k>0.$$记左边为函数 $g(x)$，则 $g'(x)=2-k+\ln x$ 是增函数，因为是考虑 $k$ 的最大值，所以考虑 $g'(x)$ 有零点的情况，此时当 $x_0={\rm e}^{k-2}$ 时，$g(x)$ 取到最小值$$g(x_0)={\rm e}^{k-2}\cdot(k-2)+(1-k){\rm e}^{k-2}+2k=2k-{\rm e}^{k-2},$$所以 $g(x_0)>0$ 即 $2k-{\rm e}^{k-2}>0$，所以 $k=4$ 为最大值．
题目
答案
解析
备注
