定义 $\max\{a,b\}=\begin{cases}a,a\geqslant b,\\b,a<b\end{cases}$，设实数 $x,y$ 满足约束条件 $\begin{cases}|x|\leqslant 2,\\|y|\leqslant 2\end{cases}$，则 $z=\max\{4x+y,3x-y\}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[-7,10]$
【解析】
根据题意，$z_{\max}$ 为 $\max\{4x+y\}$ 和 $\max\{3x-y\}$ 中的较大者，事实上$$4x+y\leqslant 4|x|+|y|\leqslant 10,$$等号当且仅当 $x=y=2$ 时取得；而$$3x-y\leqslant 3|x|+|y|\leqslant 8,$$等号当且仅当 $x=2,y=-2$ 时取得．因此 $z_{\max}=10$．
另一方面，有$$z=\max\{4x+y,3x-y\}\geqslant \dfrac 12(4x+y)+\dfrac 12(3x-y)=\dfrac 72x\geqslant -7,$$等号当且仅当 $x=-2,y=1$ 时取得．因此 $z_{\min}=-7$．
综上，$z$ 的取值范围是 $[-7,10]$．
另一方面，有$$z=\max\{4x+y,3x-y\}\geqslant \dfrac 12(4x+y)+\dfrac 12(3x-y)=\dfrac 72x\geqslant -7,$$等号当且仅当 $x=-2,y=1$ 时取得．因此 $z_{\min}=-7$．
综上，$z$ 的取值范围是 $[-7,10]$．
题目
答案
解析
备注
