若 $\lambda$ 为实数，若关于 $x$ 的方程 $\sqrt{x^2-\lambda}+2\sqrt{x^2-1}=x$ 有实数解，则 $\lambda$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[0,\dfrac 43\right]$
【解析】
设$$f(x)=\sqrt{x^2-\lambda}+2\sqrt{x^2-1}-x,x\geqslant 1.$$对此函数求导得$$f'(x)=\dfrac {x}{\sqrt{x^2-\lambda}}+\dfrac {2x}{\sqrt{x^2-1}}-1>0,$$于是 $f(x)$ 单调递增．
当 $\lambda\leqslant 1$ 时，$f(1)\leqslant 0$ 有解，得到$$\sqrt{1-\lambda}-1\leqslant 0,$$解得 $\lambda\geqslant 0$；
当 $\lambda>1$ 时，$f(\sqrt{\lambda})\leqslant 0$ 有解，得到$$2\sqrt{\lambda-1}-\sqrt{\lambda}\leqslant 0,$$解得 $\lambda\leqslant \dfrac 43$．
综上知，$\lambda\in\left[0,\dfrac 43\right]$．
当 $\lambda\leqslant 1$ 时，$f(1)\leqslant 0$ 有解，得到$$\sqrt{1-\lambda}-1\leqslant 0,$$解得 $\lambda\geqslant 0$；
当 $\lambda>1$ 时，$f(\sqrt{\lambda})\leqslant 0$ 有解，得到$$2\sqrt{\lambda-1}-\sqrt{\lambda}\leqslant 0,$$解得 $\lambda\leqslant \dfrac 43$．
综上知，$\lambda\in\left[0,\dfrac 43\right]$．
题目
答案
解析
备注
