已知集合 $A=\{(x,y)\mid x=n,y=na+b,n\in\mathbb Z\}$，$B=\{(x,y)\mid x=m,y=3m^2+12,m\in\mathbb Z\}$．若存在实数 $a,b$ 使得 $A\cap B\ne \varnothing$ 成立，则称 $(a,b)$ 为好点，则好点在平面区域 $C=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant 108\}$ 内的个数是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
$(a,b)$ 为使得 $ax+b=3x^2+12$ 有整数解 $x$ 的点，对此一元二次方程 $3x^2-ax+12-b=0$ 考虑判别式 $\Delta =a^2-144+12b$，因为 $a^2+b^2\leqslant 108$，所以$$\Delta \leqslant 108-b^2-144+12b=-(b-6)^2\leqslant 0,$$当且仅当 $b=6,a^2+b^2=108$ 时方程有解，而此时 $b=6,a=\sqrt{72}\notin\mathbb{Z}$，所以所求好点个数为 $0$．
题目
答案
解析
备注
