若函数 $f\left(x\right) = \cos 2x + a\sin x$ 在区间 $\left(\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)$ 是减函数，则 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2014年高考大纲卷（理）
【标注】
【答案】
$(-\infty,2]$
【解析】
函数 $f(x)$ 即 $f(x)=-2\sin^2x+a\sin x+1$，可以看作是函数 $y=-2t^2+at+1$ 与函数 $t=\sin x$ 的复合函数．
因为函数 $t=\sin x$ 在 $\left(\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)$ 上单调递增，又函数 $y=f(x)$ 在此区间上单调递减，因此函数 $y=-2t^2+at+1$ 在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 上单调递减，从而对称轴 $t=\dfrac a4\leqslant \dfrac 12$，解得 $a\leqslant 2$．
因为函数 $t=\sin x$ 在 $\left(\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)$ 上单调递增，又函数 $y=f(x)$ 在此区间上单调递减，因此函数 $y=-2t^2+at+1$ 在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 上单调递减，从而对称轴 $t=\dfrac a4\leqslant \dfrac 12$，解得 $a\leqslant 2$．
题目
答案
解析
备注
