直线 ${l_1}$ 和 ${l_2}$ 是圆 ${x^2}+{y^2}= 2$ 的两条切线，若 ${l_1}$ 与 ${l_2}$ 的交点为 $\left({1,3}\right)$，则 ${l_1}$ 与 ${l_2}$ 的夹角的正切值等于 ．
【难度】
【出处】
2014年高考大纲卷（文）
【标注】
【答案】
$\dfrac43$
【解析】
设 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角为 $\theta$，则 $\theta$ 只和圆心到交点 $P(1,3)$ 的距离以及半径有关，如图．
设切点为 $M,N$，在直角三角形 $OPM$ 中易得$$\tan\dfrac{\theta}2=\tan\angle OPM=\dfrac{OM}{PM}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt{10-2}}=\dfrac 12,$$因此$$\tan\theta=\dfrac{2\tan\dfrac{\theta}2}{1-\tan^2\dfrac{\theta}2}=\dfrac 43.$$
设切点为 $M,N$，在直角三角形 $OPM$ 中易得$$\tan\dfrac{\theta}2=\tan\angle OPM=\dfrac{OM}{PM}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt{10-2}}=\dfrac 12,$$因此$$\tan\theta=\dfrac{2\tan\dfrac{\theta}2}{1-\tan^2\dfrac{\theta}2}=\dfrac 43.$$
题目
答案
解析
备注
