探索取等条件显然取得最小值时，$b+c=a+d$．设 $b=2$，$c=4$，考虑$$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{c+d}=\dfrac{4}{a+2}+\dfrac{2}{4+d}$$当 $(a,d)=(6,0),(3,3),(0,6)$ 时的值，分别为 $1,\dfrac{38}{35},\dfrac{11}{5}$，因此可以猜测，当 $b\leqslant c$ 时，取 $d=0$ 可以使得原式取最小值．这就是解决问题的突破口．
利用取等条件放缩不妨设 $a+b\geqslant c+d$，则有\[\begin{split} \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{c+d}&\geqslant
\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac{b-d}{c+d}\\ &=\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac{b+c}{c+d}-1\\ &\geqslant \dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac 12\cdot \dfrac{a+b+c+d}{c+d}-1\\&=\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac 12\cdot\dfrac{a+b}{c+d}-\dfrac 12\\&\geqslant \sqrt 2-\dfrac 12,\end{split}\]等号当且仅当$$\begin{cases} d=0,\\ b+c=a+d,\\ a+b=\sqrt 2\cdot (c+d),\end{cases}$$时取得，也即 $a:b:c=(\sqrt 2+1):(\sqrt 2-1):2$，$d=0$ 时取得．因此原式的最小值为 $\sqrt 2-\dfrac 12$．
若 $a+b\leqslant c+d$，则利用$$\dfrac c{a+b}+\dfrac b{c+d}\geqslant \dfrac {c-a}{a+b}+\dfrac {b+a}{c+d}$$类似上面放缩．