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已知圆 $O:{x^2}+{y^2}= 1$ 和点 $A\left(-2,0\right)$，若定点 $B\left(b , 0\right) \left( b \ne-2\right)$ 和常数 $\lambda$ 满足：对圆 $O$ 上任意一点 $M$，都有 $|MB| = \lambda |MA|$，则 $b=$  ；$\lambda=$  ．
【难度】
【出处】
2014年高考湖北卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    圆
    >
    圆的定义
    >
    阿波罗尼斯圆
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线中的参数取值及范围问题
【答案】
$-\dfrac 12$；$\dfrac 12$
【解析】
根据题意，有 $|MB|^2=\lambda^2|MA|^2$，设 $M(x,y)$，于是$$(x-b)^2+y^2=\lambda^2\left[(x+2)^2+y^2\right],$$将 $y^2=1-x^2$ 代入，整理得$$(4\lambda^2+2b)x+5\lambda^2-b^2-1=0,$$该等式对任意 $-1\leqslant x\leqslant 1$ 均成立，于是$$4\lambda^2+2b=0,5\lambda^2-b^2-1=0,$$解得 $b=-\dfrac 12$，$\lambda=\dfrac 12$（$\lambda>0$，负值舍去）．
题目 答案 解析 备注
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