设 $2016$ 次多项式 $f(x)$ 满足 $f(k)=\dfrac{1}{{\rm C}_{2016}^k}$（$k=0,1,2,\cdots ,2016$），则 $f(2017)=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2017$
【解析】
由拉格朗日插值公式，可得\[\begin{split} f(2017)&=\sum_{k=0}^{2016}\left[\dfrac{2017!}{k!\cdot (-1)^k\cdot (2016-k)!}\cdot f(k)\right]\\
&=\sum_{k=0}^{2016}\left[\dfrac{2017!}{k!\cdot (-1)^k\cdot (2016-k)!}\cdot \dfrac{k!\cdot (2016-k)!}{2016!}\right]\\
&=2017\sum_{k=0}^{2016}{(-1)^k}=2017.\end{split}\]
&=\sum_{k=0}^{2016}\left[\dfrac{2017!}{k!\cdot (-1)^k\cdot (2016-k)!}\cdot \dfrac{k!\cdot (2016-k)!}{2016!}\right]\\
&=2017\sum_{k=0}^{2016}{(-1)^k}=2017.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
