点 $P$ 是棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面 $A_1B_1C_1D_1$ 上一点，则 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC_1}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac 12,0\right]$
【解析】
根据极化恒等式，有$$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC_1}=|OP|^2-\dfrac 14|AC_1|^2=|OP|^2-\dfrac 34,$$其中 $O$ 为正方体的中心．因此所求的取值范围是 $\left[-\dfrac 12,0\right]$．
题目
答案
解析
备注
