若 $\triangle ABC$ 的内角满足 $\sin A + \sqrt 2 \sin B = 2\sin C$，则 $\cos C$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2014年高考江苏卷
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 6-\sqrt 2}4$
【解析】
由正弦定理，得 $a+\sqrt 2b=2c$．再由余弦定理可得\[\begin{split} \cos C&=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\\
&=\dfrac{4a^2+4b^2-(a+\sqrt 2b)^2}{8ab}\\
&=\dfrac {3a}{8b}+\dfrac{b}{4a}-\dfrac{\sqrt 2}4\\
&\geqslant \dfrac{\sqrt 6}4-\dfrac{\sqrt 2}4,\end{split}\]等号当且仅当 $\dfrac{3a}{8b}=\dfrac{b}{4a}$ 时取得．因此所求的最小值为 $\dfrac{\sqrt 6-\sqrt 2}4$．
&=\dfrac{4a^2+4b^2-(a+\sqrt 2b)^2}{8ab}\\
&=\dfrac {3a}{8b}+\dfrac{b}{4a}-\dfrac{\sqrt 2}4\\
&\geqslant \dfrac{\sqrt 6}4-\dfrac{\sqrt 2}4,\end{split}\]等号当且仅当 $\dfrac{3a}{8b}=\dfrac{b}{4a}$ 时取得．因此所求的最小值为 $\dfrac{\sqrt 6-\sqrt 2}4$．
题目
答案
解析
备注
