设复数 $z,w$ 满足 $|z|=3$，$\left(z+\overline{w}\right)\left(\overline{z}-w\right)=7+4{\mathrm i}$，其中 $\mathrm i$ 是虚数单位，$\overline{z},\overline{w}$ 分别表示 $z,w$ 的共轭复数，则 $\left(z+2\overline{w}\right)\left(\overline{z}-2w\right)$ 的模为 ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$\sqrt{65}$
【解析】
根据已知，有$$z\cdot \overline z-w\cdot \overline w-z\cdot w+\overline z\cdot \overline w=7+4{\rm i},$$于是$$\begin{cases} z\cdot \overline z-w\cdot \overline w =7,\\ -z\cdot w+\overline z\cdot \overline w=4{\rm i}.\end{cases}$$于是\[\begin{split} \left(z+2\overline w\right)\left(\overline z-2w\right)&=z\cdot \overline z-4w\cdot \overline w-2z\cdot w+2\overline z\cdot \overline w\\
&=4\left(z\cdot \overline z-w\cdot \overline w\right)-3z\cdot \overline z+2\left(-z\cdot w+\overline z\cdot \overline w\right)\\
&=1+8{\rm i},\end{split}\]于是所求复数的模为 $\sqrt{65}$．
&=4\left(z\cdot \overline z-w\cdot \overline w\right)-3z\cdot \overline z+2\left(-z\cdot w+\overline z\cdot \overline w\right)\\
&=1+8{\rm i},\end{split}\]于是所求复数的模为 $\sqrt{65}$．
题目
答案
解析
备注
