设函数 $f(x)=\sin^4{\dfrac{kx}{10}}+\cos^4{\dfrac{kx}{10}}$，其中 $k$ 是一个正整数．若对任意实数 $a$，均有 $\left\{f(x)\mid a<x<a+1\right\}=\left\{f(x)\mid x\in\mathbb{R}\right\}$，则 $k$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$16$
【解析】
根据已知，有\[\begin{split} f(x)&=\left(\sin^2\dfrac{kx}{10}+\cos^2\dfrac{kx}{10}\right)^2-\dfrac 12\left(2\sin\dfrac{kx}{10}
\cdot \cos\dfrac{kx}{10}\right)^2\\
&=1-\dfrac 12\sin^2\dfrac{kx}5\\
&=\dfrac 14\cos\dfrac{2kx}5+\dfrac 34.\end{split}\]题意为任取函数 $f(x)$ 图象上在 $x$ 轴上投影长度为 $1$ 的一段（不包含端点）都能同时覆盖函数 $f(x)$ 的最大值点和最小值点，于是其最小正周期小于 $1$，从而 $k$ 的最小值为 $\left[5\pi\right]+1=16$．
\cdot \cos\dfrac{kx}{10}\right)^2\\
&=1-\dfrac 12\sin^2\dfrac{kx}5\\
&=\dfrac 14\cos\dfrac{2kx}5+\dfrac 34.\end{split}\]题意为任取函数 $f(x)$ 图象上在 $x$ 轴上投影长度为 $1$ 的一段（不包含端点）都能同时覆盖函数 $f(x)$ 的最大值点和最小值点，于是其最小正周期小于 $1$，从而 $k$ 的最小值为 $\left[5\pi\right]+1=16$．
题目
答案
解析
备注
