设 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 是 $1,2,\cdots,100$ 中的 $4$ 个互不相同的数，满足$$\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)\left(a_2^2+a_3^2+a_4^2\right)=\left(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4\right)^2,$$则这样的序列数组 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 的个数为 ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$40$
【解析】
由柯西不等式的取等条件可知 $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{a_3}{a_4}$，于是问题即从 $1,2,\cdots ,100$ 中选出 $4$ 个不同的数组成的等比数列的个数．不难推知 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 必然形如 $am^3,am^2n,amn^2,an^3$，其中 $a,m,n$ 均为正整数，且 $m\neq n,(m,n)=1$．考虑 $m<n$ 的情形，此时所有的 $(m,n)$ 有$$(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(3,4),$$对应的等比数列个数之和为$$\left[\dfrac{100}{2^3}\right]+2\cdot\left[\dfrac{100}{3^3}\right]+2\cdot\left[\dfrac{100}{4^3}\right]=20,$$因此所求的有序数组 $\left(a_1,a_2,a_3,a_4\right)$ 共有 $40$ 个．
题目
答案
解析
备注
