方程 $x^3-2ax+a^2=0$ 有在区间 $(0,1)$ 内的实数解，则 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学入学考试试题
【标注】
【答案】
$\left(0,\dfrac{32}{27}\right]$
【解析】
根据题意，有 $a=x\left(1 \pm \sqrt{1-x}\right)$（$x\in (0,1)$），设 $1-x=(t-1)^2$，$t\in (0,1)\cup (1,2)$，则$$0<a=t^2(2-t)=\dfrac{t\cdot t\cdot (4-2t)}2\leqslant \dfrac 12\left(\dfrac 43\right)^3=\dfrac{32}{27},$$当 $t=1$ 时，$a=1$，经检验 $a=1$ 时满足条件，结合连续性可得 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{32}{27}\right]$．
题目
答案
解析
备注
