方程 $x+y+z=2010$ 满足 $x\leqslant y\leqslant z$ 的正整数解 $(x,y,z)$ 的个数是 ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$336675$
【解析】
假设三个数 $x,y,z$ 均不相同的正整数解有 $a$ 个．显然三个数中有两个相同，另一个与这两个数均不同的正整数解有 $1003$ 个，三个数均相同的正整数解有 $1$ 个．因此有$${\rm C}_{2009}^2=1+3\cdot 1003+6a,$$解得 $a=335671$，于是所求的正整数解的个数为 $1+1003+a=336675$．
题目
答案
解析
备注
