已知 $a,b,c$ 为实数，且满足 $a+b+c=15$，$a^2+b^2+c^2=100$，则 $a$ 的最大值与最小值的积为 ．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac {25}3$
【解析】
根据题意，有$$\begin{cases} b+c=15-a,\\ b^2+c^2=100-a^2,\end{cases}$$而 $(b+c)^2\leqslant 2\left(b^2+c^2\right)$，从而$$(15-a)^2\leqslant 2\left(100-a^2\right),$$即 $3a^2-30a+25\leqslant 0$，因此所求的积为 $\dfrac {25}3$．
题目
答案
解析
备注
