设边长为 $1$ 的正三角形可被边长为 $b$ 的正方形覆盖，则 $b$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学入学考试试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}4$
【解析】
想象一个大矩形将边长为 $1$ 的正三角形覆盖，然后保持矩形的长和宽的方向不变缩小矩形，直至矩形的边碰到正三角形的三个顶点．此时必有一个顶点与矩形的顶点重合，如图．
设 $\angle BAD=\alpha$，$\angle CAF=\beta$，则 $\alpha+\beta=30^\circ$，且此方向上的正方形（由矩形补成）边长的最小值为$$\max\{\cos\alpha,\cos\beta\}\geqslant \cos 15^\circ=\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}4,$$等号当 $\alpha=\beta=15^\circ$ 时取得．因此所求的最小值为 $\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}4$．
设 $\angle BAD=\alpha$，$\angle CAF=\beta$，则 $\alpha+\beta=30^\circ$，且此方向上的正方形（由矩形补成）边长的最小值为$$\max\{\cos\alpha,\cos\beta\}\geqslant \cos 15^\circ=\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}4,$$等号当 $\alpha=\beta=15^\circ$ 时取得．因此所求的最小值为 $\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}4$．
题目
答案
解析
备注
