显然原式取得最小值时，有 $\cot C\leqslant \cot B\leqslant \cot A$．在 $\triangle ABC$ 中，有$$\cot C=-\cot (A+B)=\dfrac{1-\cot A\cot B}{\cot A+\cot B},$$记 $\cot A=x$，$\cot B=y$，于是问题转化为 $x,y>0$，求$$m=2x+3y+\dfrac{4(1-xy)}{x+y}$$的最小值．由于\begin{eqnarray*}\begin{split} m&=\dfrac{2x^2+3y^2+xy+4}{x+y}\\
&=2x-y+\dfrac{4y^2+4}{x+y}\\
&=2(x+y)+\dfrac{4y^2+4}{x+y}-3y\\
&\geqslant 2\sqrt{8\left(y^2+1\right)}-3y\\
&=\dfrac{4\sqrt 2-3\cos B}{\sin B}
,\end{split} \end{eqnarray*}等号当 $2(x+y)=\dfrac{4y^2+4}{x+y}$ 时取得．于是$$m\sin B+3\cos B=4\sqrt 2,$$从而 $m^2+9\geqslant \left(4\sqrt 2\right)^2$，等号当 $\cot B=\dfrac{3}{\sqrt{23}}$ 时取得．进而可得$$\cot A=\dfrac{5}{\sqrt{23}},\cot B=\dfrac{3}{\sqrt{23}},\cot C=\dfrac{1}{\sqrt{23}}$$时等号可以同时取得，因此 $m$ 的最小值为 $\sqrt {23}$．