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已知 $\triangle ABC$ 中，$\sin A+2\sin B\cos C=0$，则 $\tan A$ 的最大值是  ．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学自主招生试题
【标注】
  • 题型
    >
    三角
    >
    解三角形
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    和差角公式
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
【答案】
$\dfrac{\sqrt 3}3$
【解析】
由 $\sin A=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$，得$$3\sin B\cos C+\cos B\sin C=0,$$即$$3\tan B+\tan C=0.$$于是$$\tan A=-\tan (B+C)=-\dfrac{\tan B+\tan C}{1-\tan B\cdot \tan C}=\dfrac{2\tan B}{1+3\tan^2B}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{\tan B}+3\tan B}\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3,$$等号当 $\tan B=\dfrac{\sqrt 3}3,\tan C=-\sqrt 3$ 时取得．因此 $\tan A$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．
题目 答案 解析 备注
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