若对任意实数 $x$ 都有 $|2x-a|+|3x-2a|\geqslant a^2$，则 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学自主招生试题
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]$
【解析】
易知函数 $f(x)=|2x-a|+|3x-2a|$ 在 $x=\dfrac {2a}3$ 处取得最小值 $f\left(\dfrac{2a}3\right)=\dfrac {|a|}3$，于是解不等式$$\dfrac {|a|}3\geqslant a^2,$$得$$-\dfrac 13\leqslant a\leqslant \dfrac 13.$$因此 $a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]$．
题目
答案
解析
备注
