已知函数 $f(x)=\begin{cases} -x^3-(2a-2)x,&x\leqslant 0,\\ x^3-(3a+3)x^2+ax,&x>0,\end{cases}$ 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P_i(x_i,y_i)$（$i=1,2,3$）处的切线互相平行，其中 $x_1,x_2,x_3$ 互不相等，则 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-1,+\infty\right)$
【解析】
根据已知，$f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=\begin{cases} -3x^2-2a+2,&x<0,\\ 3x^2-6(a+1)x+a,&x>0,\end{cases}$$特别的，如果 $a=\dfrac 23$，则有 $f'(0)=\dfrac 23$．
根据题意，函数 $y=f'(x)$ 的图象与直线 $y=m$ 有 $3$ 个或 $3$ 个以上的公共点．由于左侧的抛物线对称轴恰为 $x=0$，于是题意即右侧抛物线的对称轴在 $x=0$ 右侧，且最小值小于 $-2a+2$．因此$$\begin{cases} a+1>0,\\ \dfrac{12a-36(a+1)^2}{12}<-2a+2,\end{cases}$$解得 $a>-1$．
根据题意，函数 $y=f'(x)$ 的图象与直线 $y=m$ 有 $3$ 个或 $3$ 个以上的公共点．由于左侧的抛物线对称轴恰为 $x=0$，于是题意即右侧抛物线的对称轴在 $x=0$ 右侧，且最小值小于 $-2a+2$．因此$$\begin{cases} a+1>0,\\ \dfrac{12a-36(a+1)^2}{12}<-2a+2,\end{cases}$$解得 $a>-1$．
题目
答案
解析
备注
