若 $a,b,c\geqslant 0$，且 $a^2+b^2+c^2=1$，则 $a+b+\dfrac 12\sqrt{4c^2+\left(a^2-b^2\right)^2}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 3$
【解析】
令 $a+b=x$，$a-b=y$，则\begin{eqnarray*}\begin{split} a+b+\dfrac 12\sqrt{4c^2+\left(a^2-b^2\right)^2}&=x+\dfrac 12\sqrt{4-2x^2-2y^2+x^2y^2}\\
&=x+\dfrac 12\sqrt{\left(2-x^2\right)\left(2-y^2\right)}\\
&\leqslant x+\dfrac{\sqrt{4-2x^2}}2\\
&\leqslant \sqrt{\dfrac 12+\dfrac 14}\cdot \sqrt{2x^2+4-2x^2}\\
&=\sqrt 3,\end{split} \end{eqnarray*}等号当 $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt 3}$ 时取得．因此所求的最大值为 $\sqrt 3$．
&=x+\dfrac 12\sqrt{\left(2-x^2\right)\left(2-y^2\right)}\\
&\leqslant x+\dfrac{\sqrt{4-2x^2}}2\\
&\leqslant \sqrt{\dfrac 12+\dfrac 14}\cdot \sqrt{2x^2+4-2x^2}\\
&=\sqrt 3,\end{split} \end{eqnarray*}等号当 $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt 3}$ 时取得．因此所求的最大值为 $\sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
