已知 $a,b,c\geqslant 0$，且满足 $ab+bc+ca=a+b+c>0$，则 $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，根据题意，有\begin{eqnarray*}\begin{split} \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}&=\dfrac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(a+b+c\right)}{ab+bc+ca}\\
&\geqslant \dfrac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\cdot 2\sqrt{ab}}{ab+bc+ca}\\
&\geqslant 2,\end{split} \end{eqnarray*}等号当 $a=b=2$，$c=0$ 时取得．因此所求的最小值为 $2$．
&\geqslant \dfrac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\cdot 2\sqrt{ab}}{ab+bc+ca}\\
&\geqslant 2,\end{split} \end{eqnarray*}等号当 $a=b=2$，$c=0$ 时取得．因此所求的最小值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
