在矩形 $ABCD$ 中，$AB=2$，$AD=1$，在 $DC$ 边上（包含点 $D$、$C$）的动点 $P$ 与 $CB$ 延长线上（包含 $B$）的动点 $Q$ 满足 $\left|\overrightarrow{DP}\right|=\left|\overrightarrow{BQ}\right|$，则向量 $\overrightarrow{PA}$ 与向量 $\overrightarrow{PQ}$ 的数量积 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PQ}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac 34$
【解析】
如图建系即可，设 $DP=BQ=x$，则有$$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PQ}=(x,1)\cdot(x-2,1+x)=\left(x-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 34.$$
题目
答案
解析
备注
