已知 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，且 $AG\perp BG$，$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{\lambda }{\tan C}$，则实数 $\lambda=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \dfrac 12 $
【解析】
首先简化含 $\lambda$ 的表达式：\[\lambda=\dfrac{\sin C}{\cos C}\cdot\left(\dfrac{\cos A}{\sin A}+\dfrac{\cos B}{\sin B}\right)=\dfrac{\sin^2C}{\sin A\cdot\sin B\cdot \cos C}=\dfrac{c^2}{ab\cos C}.\]接下来处理核心条件 $AG\perp BG$．
连接 $CG$ 并延长交 $AB$ 于 $F$，则$$CF=3GF=\dfrac 32c,$$对 $\triangle ABC$ 应用中线定理，有$$a^2+b^2=2\left(CF^2+BF^2\right)=2\left(\dfrac 94c^2+\dfrac 14c^2\right)=5c^2,$$而$$\lambda=\dfrac{c^2}{ab\cos C}=\dfrac{2c^2}{a^2+b^2-c^2}=\dfrac 12.$$
连接 $CG$ 并延长交 $AB$ 于 $F$，则$$CF=3GF=\dfrac 32c,$$对 $\triangle ABC$ 应用中线定理，有$$a^2+b^2=2\left(CF^2+BF^2\right)=2\left(\dfrac 94c^2+\dfrac 14c^2\right)=5c^2,$$而$$\lambda=\dfrac{c^2}{ab\cos C}=\dfrac{2c^2}{a^2+b^2-c^2}=\dfrac 12.$$
题目
答案
解析
备注
