在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $A,B,C$ 是平面上不同的三点，并且都在圆 $x^2+y^2=1$ 上，若存在实数 $\lambda,\mu$ 使得 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，则 $\left(\lambda -3\right)^2+\mu^2$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(2,+\infty)$
【解析】
由题意可设 $\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{MC}=\mu\overrightarrow{OB}$，则 $|\lambda|$，$|\mu|$，$1$ 构成三角形 $OMC$ 的三边（否则 $A,B,C$ 中至少有两个点重合），如图：
由对称性不妨先考虑 $\lambda>0,\mu>0$ 的情形：
于是 $\lambda$ 与 $\mu$ 满足$$\begin{cases}\lambda>0,\\ \mu>0,\\ \lambda+\mu>1,\\ \lambda+1>\mu,\\ \mu+1>\lambda\end{cases}$$得到的可行域所在的区域如下，再分别关于 $x$ 轴，$y$ 轴，原点对称到四个象限即可：
由对称性不妨先考虑 $\lambda>0,\mu>0$ 的情形：于是 $\lambda$ 与 $\mu$ 满足$$\begin{cases}\lambda>0,\\ \mu>0,\\ \lambda+\mu>1,\\ \lambda+1>\mu,\\ \mu+1>\lambda\end{cases}$$得到的可行域所在的区域如下，再分别关于 $x$ 轴，$y$ 轴，原点对称到四个象限即可：
题目
答案
解析
备注
