考虑到条件基于 $O$ 点，而待求量基于 $C$ 点，因此考虑转化起点．利用向量的换底公式$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}$$将条件的起点换为 $C$：$$3\left(\overrightarrow {CA}-\overrightarrow{CO}\right)+4\left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CO}\right)-5\overrightarrow{CO}=\overrightarrow 0,$$整理得$$\overrightarrow{CO}=\dfrac 14\overrightarrow{CA}+\dfrac 13\overrightarrow{CB},$$两边分别与 $\overrightarrow {CA}$ 与 $\overrightarrow{CB}$ 作数量积，得$$\begin{cases}\dfrac 12b^2=\dfrac 14b^2+\dfrac 13ab\cos C,\\\dfrac 12a^2=\dfrac 14ab\cos C+\dfrac 13a^2,\end{cases}$$于是可得$$\cos C=\dfrac{3b}{4a}=\dfrac{2a}{3b},$$进而求得 $\cos C=\dfrac{\sqrt 2}2$，$C=\dfrac{\pi}{4}$．