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设圆 $A:(x+1)^2+y^2=1$，圆 $B:(x-4)^2+y^2=4$，过圆 $B$ 上一点 $M$ 作圆 $A$ 的切线 $MP,MQ$，两条切线分别交 $y$ 轴于 $C,D$，则 $|CD|$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    数学建模
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    圆
    >
    圆的方程
    >
    圆的参数方程
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
$\left[\sqrt 2,\dfrac{5\sqrt 2}4\right]$
【解析】
设 $M\left(4+2\cos\theta,2\sin\theta\right)$，则一方面四边形 $MPAQ$ 的面积$$S=2\cdot \dfrac 12\cdot |AP|\cdot |MP|=\sqrt{|MA|^2-1}=2\sqrt{7+5\cos\theta},$$另一方面又有\[\begin{split} S&=S_{CPAO}+S_{QDOA}+S_{CDM}\\ &=|OA|\cdot|CO|+|OA|\cdot|DO|+\dfrac 12|CD|\cdot |y_M|\\&=\left(3+\cos\theta\right)\cdot |CD|,\end{split}\]于是$$|CD|=\dfrac{2\sqrt {7+5\cos\theta}}{3+\cos\theta},$$令 $t=\sqrt{7+5\cos\theta}$，$t\in\left[\sqrt 2,2\sqrt 3\right]$，则有$$|CD|=\dfrac{10t}{8+t^2}=\dfrac{10}{t+\dfrac 8t},$$其取值范围是 $\left[\sqrt 2,\dfrac{5\sqrt 2}4\right]$．
题目 答案 解析 备注
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