不妨设 $A\left(1,0\right)$，$B\left(\cos\alpha,\sin\alpha\right)$，$C\left(\cos\beta,\sin\beta\right)$，其中 $\alpha=x\cdot \dfrac{2\pi}{2016}$，$\beta=y\cdot\dfrac{2\pi}{2016}$，$x,y\leqslant 2015$，$x,y\in\mathbb N^*$ 且 $x\neq y$．总样本空间为 $2015\times 2014$，且根据题意，有\[\begin{split} \left|\overrightarrow {OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right|^2-1&=\left(1+\cos\alpha+\cos\beta\right)^2+\left(\sin\alpha+\sin\beta\right)^2-1\\
&=2+2\cos\alpha+2\cos\beta+2\cos\left(\alpha-\beta\right)\\
&=4\cos\dfrac{\alpha+\beta}2\cos\dfrac{\alpha-\beta}2+4\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}2\\
&=4\cos\dfrac{\alpha-\beta}2\left[\cos\dfrac{\alpha+\beta}2+\cos\dfrac{\alpha-\beta}2\right]\\
&=8\cos\dfrac{\alpha-\beta}2\cos\dfrac{\alpha}2\cos\dfrac{\beta}2\\
&\geqslant 0
.\end{split}\]情形一 $0<\alpha,\beta< {\pi}$，此时 $1\leqslant x,y\leqslant 1007$，共有 ${\rm A}_{1007}^2$ 个基本事件符合题意．
情形二 ${\pi}< \alpha,\beta<2{\pi}$，此时 $1009\leqslant x,y\leqslant 2015$，共有 ${\rm A}_{1007}^2$ 个基本事件符合题意．
情形三 $\alpha=\pi$ 或 $\beta=\pi$，此时 $x=1008$ 或 $y=1008$，共有 $4028$ 个基本事件符合题意．
情形四 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别位于 $\left(0,\pi\right)$ 和 $\left(\pi,2\pi\right)$，此时 $\left|\alpha-\beta\right|>\pi$，即 $|x-y|\geqslant 1008$，共有 $2{\rm C}_{1008}^2$ 个基本事件符合题意．
综上所述，所求的概率为$$\dfrac{2{\rm A}_{1007}^2+2{\rm C}_{1008}^2+4028}{2015\times 2014}=\dfrac{1512}{2015}.$$