首先重新叙述问题：已知 $x,y\in\mathbb R$，$x^2+y^2+\dfrac 12xy=1$，求 $x+y$ 的最大值．当 $xy=0$ 时，$x+y=\pm 1$；当 $xy\neq 0$ 时，由于\[\begin{split} (x+y)^2&=\dfrac{x^2+y^2+2xy}{x^2+y^2+\dfrac 12x y}=1+\dfrac{\dfrac 32xy}{x^2+y^2+\dfrac 12xy}\\&=1+\dfrac{\dfrac 32}{\dfrac xy+\dfrac yx+\dfrac 12}\leqslant 1+\dfrac{\dfrac 32}{2+\dfrac 12}=\dfrac 85,\end{split}\]等号当 $x=y=\dfrac {\sqrt {10}}5$ 时取得，因此所求 $x+y$ 的最大值为 $\dfrac{2\sqrt{10}}5$．