首先重新叙述问题：已知 $x,y\in\mathbb R$，$x^2+y^2+\dfrac 12xy=1$，求 $x+y$ 的最大值．令 $t=x+y$，则 $y=t-x$，代入已知条件，整理得$$3x^2-3tx+2t^2-2=0,$$其判别式$$\Delta=-15t^2+24\geqslant 0,$$解得$$-\dfrac{2\sqrt{10}}5 \leqslant t\leqslant \dfrac {2\sqrt {10}}5,$$右边等号当 $x=y=\dfrac {\sqrt {10}}5$ 时取得，因此所求 $x+y$ 的最大值为 $\dfrac{2\sqrt{10}}5$．