首先重新叙述问题：已知 $x,y\in\mathbb R$，$x^2+y^2+\dfrac 12xy=1$，求 $x+y$ 的最大值．先考虑 $x,y$ 均为正实数的情形．
由于已知条件的形式，联想余弦定理．将条件改写为$$x^2+y^2-2xy\cdot \left (-\dfrac 14\right) =1,$$于是可以构造 $\triangle ABC$，其中 $BC=x$，$CA=y$，$AB=1$，角 $C$ 为定角 $\arccos\left(-\dfrac 14\right) $．
接下来求 $BC+CA$ 的最大值，有两种不同的途径．
三角途径由正弦定理，有$$\dfrac{x}{\sin A}=\dfrac{y}{\sin B}=\dfrac{1}{\sin C},$$于是$$ x+y=\dfrac{\sin A+\sin B}{\sin C}=\dfrac{2\sin\dfrac{A+B}2\cdot\cos\dfrac{A-B}2}{\sin C}\leqslant \dfrac{2\sin\dfrac{\pi-C}2}{\sin C}=\dfrac{2\sqrt{10}}5,$$当 $A=B$，即 $x=y=\dfrac{\sqrt{10}}5$ 时取得等号．
几何途径直接考虑定线段 $AB$ 所对的角 $C$ 为定角，于是 $C$ 在以 $AB$ 为弦的一段圆弧上．此时求 $AC+BC$ 的最大值不易（需要借助椭圆）．延长 $AC$ 到 $D$，使得 $CD=CB$，则 $\angle ADB$ 也为定角（为 $\arcsin\sqrt{\dfrac{5}{8}}$），于是 $D$ 也在以 $AB$ 为弦的一段圆弧上，此时易得 $AD$ 的最大值为圆弧的直径，为$$\dfrac{AB}{\sin D}=\dfrac{2\sqrt{10}}5,$$当 $C$ 平分 $AD$，即 $x=y=\dfrac{\sqrt{10}}5$ 时取得等号，因此所求 $x+y$ 的最大值为 $\dfrac{2\sqrt{10}}5$．
接下来证明当 $x,y$ 不均为正实数时 $x+y\leqslant\dfrac{2\sqrt{10}}5$：
当 $x,y\leqslant 0$ 时，显然；
当 $xy<0$ 时，有$$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy< x^2+y^2+\dfrac 12xy=1,$$于是$$x+y<1<\dfrac{2\sqrt{10}}5.$$于是所求的最大值为 $\dfrac{2\sqrt{10}}5$．