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将函数 $y = \sqrt 3 \cos x + \sin x$（$x \in {\mathbb{R}}$）的图象向左平移 $m$（$m > 0$）个单位长度后，所得到的图象关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\mathrm \pi} {12}$
B: $\dfrac{\mathrm \pi} {6}$
C: $\dfrac{\mathrm \pi} {3}$
D: $\dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{6}$
【难度】
【出处】
2013年高考湖北卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    辅助角公式
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    坐标变换
    >
    坐标系下的平移变换
【答案】
B
【解析】
本题需要先把函数化为正弦型函数的形式，然后利用正弦型函数的性质求解．因为\[y=\sqrt{3}\cos x+\sin x\overset{\left[a\right]}=2\sin \left(x+\dfrac{\mathrm \pi} {3} \right),\]（推导中用到：[a]）所以函数图象向左平移 $m$ 个单位后，得到的函数为\[y=2 \sin\left(x+\dfrac{\mathrm \pi} {3}+m\right).\]由题意得所得到的图象关于 $y$ 轴对称，因此\[ \dfrac{\mathrm \pi} {3}+m=\dfrac{\mathrm \pi} {2}+k {\mathrm \pi} ,k\in{\mathbb{Z}}, \]解得\[ m=\dfrac{\mathrm \pi} {6}+k {\mathrm \pi} , k\in{\mathbb{Z}} .\]当 $ k=0 $ 时，$m$ 的最小值是 $\dfrac{\mathrm \pi} {6} $．
题目 答案 解析 备注
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