函数 $f(x)$ 的零点为 $x=0$ 和 $x=\sqrt{\dfrac{3b}{-a}}$，极大值点为 $x=\sqrt{\dfrac{b}{-a}}$，极大值为 $2b\sqrt{\dfrac{b}{-a}}$．按极大值点 $\sqrt {-\dfrac ba}$ 与 $1$ 的大小关系进行分类讨论：
情形一 $\sqrt {-\dfrac ba}\geqslant 1$，即 $a+b\geqslant 0$ 时，有 $f(1)=a+3b\leqslant 1$，此时 $b\leqslant \dfrac 12$；
情形二 $\sqrt {-\dfrac ba}<1$，即 $a<-b$ 时，有 $2b\sqrt{\dfrac {b}{-a}}\leqslant 1$ 且 $f(1)=a+3b\geqslant 0$，整理得 $a\leqslant -4b^{3}$ 且 $a\geqslant -3b$，从而有 $-3b\leqslant -4b^3$，又 $b>0$，解得 $b\leqslant \dfrac {\sqrt 3}{2}$．当 $a=-\dfrac 32\sqrt 3$，$b=\dfrac{\sqrt 3}{2}$ 时取到等号．