甲、乙、丙三人玩传球游戏，第 $1$ 次由甲将球传出，传了 $4$ 次球后，球回到甲手里的方案数为 ．
【难度】
【出处】
2015年上海交通大学自主招生试题
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
传球 $4$ 次，中间经过 $3$ 人．若中间一个人为甲，由第一次与第三次可以经过乙或丙，共有 $4$ 种方案；若中间一个人为乙或丙，则第一次与第三次只能经过剩下的一个人，共有 $2$ 种方案．
一般地，设球传了 $n$ 次后，回到甲手里的方案数为 $a_n$，则 $a_1=0$，考虑 $a_n$ 的递推关系．球传 $n$ 次，每次都有两种传法，共有 $2^n$ 种传法．其中传 $n-1$ 次球在甲手里的方案数是 $a_{n-1}$，所以传了 $n-1$ 次球不在甲手里的方案数是 $2^{n-1}-a_{n-1}$，从而有$$a_n=2^{n-1}-a_{n-1}.$$由累加法可以求得 $a_n$ 的通项公式为$$a_n=\dfrac {2^n+2\cdot(-1)^n}3.$$
一般地，设球传了 $n$ 次后，回到甲手里的方案数为 $a_n$，则 $a_1=0$，考虑 $a_n$ 的递推关系．球传 $n$ 次，每次都有两种传法，共有 $2^n$ 种传法．其中传 $n-1$ 次球在甲手里的方案数是 $a_{n-1}$，所以传了 $n-1$ 次球不在甲手里的方案数是 $2^{n-1}-a_{n-1}$，从而有$$a_n=2^{n-1}-a_{n-1}.$$由累加法可以求得 $a_n$ 的通项公式为$$a_n=\dfrac {2^n+2\cdot(-1)^n}3.$$
题目
答案
解析
备注
