若已知 $\displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty}\left(\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{i}-\ln n\right)$ 存在，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{+\infty}{\dfrac{(-1)^{i+2}}{i+1}}=$ ．
【难度】
【出处】
2015年华中科技大学理科实验选拔试题
【标注】
【答案】
$\ln 2$
【解析】
记 $\displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty}\left(\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{i}-\ln n\right)=\lambda$，则$$\begin{split} \sum\limits_{i=0}^{2n}{\dfrac {(-1)^{i+2}}{i+1}}=&\sum_{i=1}^{2n}\dfrac {1}{i}-\sum_{i=1}^n{\dfrac 1i}\\=&\left(\sum_{i=1}^{2n}\dfrac 1i-\ln{2n}\right)-\left(\sum_{i=1}^n\dfrac 1i-\ln n\right)+\ln 2.\end{split} $$从而有$$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{+\infty}{\dfrac{(-1)^{i+2}}{i+1}}=\lim_{n\to+\infty}\sum\limits_{i=0}^{2n}{\dfrac {(-1)^{i+2}}{i+1}}=\lambda-\lambda+\ln 2=\ln 2.$$
题目
答案
解析
备注
