满足等式 $\left(1+\dfrac 1x\right)^{x+1}=\left(1+\dfrac{1}{2015}\right)^{2015}$ 的整数 $x$ 的个数是 ．
【难度】
【出处】
2015年北京大学自主选拔录取考试
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
若 $x$ 为正整数，则 $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+1}>\mathrm e>\left(1+\dfrac{1}{2015}\right)^{2015} $．
若 $x$ 为负整数，令 $x=-n(n\in \mathbb N_+,n\geqslant 2)$，则 $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+1}=\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)^{n-1}$．
因为数列 $\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)^{n-1}(n\in \mathbb N_+,n\geqslant 2)$ 关于 $n$ 单调递增，故当且仅当 $x=-2016$ 时，$\left(1+\dfrac 1x\right)^{x+1}=\left(1+\dfrac{1}{2015}\right)^{2015}$．
若 $x$ 为负整数，令 $x=-n(n\in \mathbb N_+,n\geqslant 2)$，则 $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+1}=\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)^{n-1}$．
因为数列 $\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)^{n-1}(n\in \mathbb N_+,n\geqslant 2)$ 关于 $n$ 单调递增，故当且仅当 $x=-2016$ 时，$\left(1+\dfrac 1x\right)^{x+1}=\left(1+\dfrac{1}{2015}\right)^{2015}$．
题目
答案
解析
备注
