已知 $a,b,c,d\in[2,4]$，则 $\dfrac{(ab+cd)^2}{(a^2+d^2)(b^2+c^2)}$ 的最大值与最小值的和为 ．
【难度】
【出处】
2015年北京大学自主选拔录取考试
【标注】
【答案】
$\dfrac{41}{25} $
【解析】
数形结合即可，有$$\dfrac{(ab+cd)^2}{(a^2+d^2)(b^2+c^2)}=\cos^2\langle(a,d),(b,c)\rangle.$$所以当 $(a,d)=(b,c)$ 时有所求代数式有最大值 $1$；当 $(a,d),(b,c)$ 所成角最大时，所求代数式有最小值，为 $(2,4),(4,2)$ 的夹角余弦值的平方，为 $\dfrac {16}{25}$．
题目
答案
解析
备注
