我们来证明更一般的结论：设 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 都是 $m$ 元集合 $\{1,2,\cdots ,m\}$ 的子集，已知 $\left|A_i\right|$ 为奇数，$1\leqslant i\leqslant n$；$\left|A_i\cap A_j\right|$ 为偶数，$1\leqslant i\neq j\leqslant n$．则 $n$ 的最大值为 $m$．
事实上，我们可以用 $n$ 个 $m$ 维 $01$ 向量 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots,\overrightarrow{v_n}$ 分别表示这 $n$ 个子集．例如，当 $m=9$ 时，子集 $A_1=\{1,3,4,5,9\}$ 可以表示为$$\overrightarrow{v_1}=(1,0,1,1,1,0,0,0,1),$$下面我们证明这 $n$ 个向量在模 $2$ 的有限域 $F_2$ 上线性无关，从而 $n \leqslant m$．
假设存在一组数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，使得$$a_1\overrightarrow{v_1}+a_2\overrightarrow{v_2}+\cdots+a_n\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{0},$$则对于 $\forall i\in\{1,2,\cdots,n\}$，都有$$0=\overrightarrow{v_i}\cdot\left(a_1\overrightarrow{v_1}+a_2\overrightarrow{v_2}+\cdots+a_n\overrightarrow{v_n}\right)=a_i,$$因此这 $n$ 个向量线性无关．
下面给出 $n=m$ 的构造．取 $A_i=\{i\}$，$i=1,2,\cdots ,n$ 即可．
证毕．