已知 $0 < \theta < \dfrac{\mathrm \pi} {4}$，则双曲线 ${C_1}:\dfrac{x^2}{{{{\cos }^2}\theta }} - \dfrac{y^2}{{{{\sin }^2}\theta }} = 1$ 与 ${C_2}:\dfrac{y^2}{{{{\sin }^2}\theta }} - \dfrac{x^2}{{{{\sin }^2}\theta {{\tan }^2}\theta }} = 1$ 的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
本题结合三角函数的公式判断双曲线的基本量即可．因为 $0 < \theta < \dfrac{\mathrm \pi} {4}$，所以 $\sin \theta >0$，$\cos \theta>0$，$\tan \theta>0$．
所以 $ C_1 $ 的实轴长为 $ 2\cos \theta $，虚轴长为 $ 2\sin \theta $，焦距为 $ 2\sqrt{\cos ^2\theta+\sin^2\theta}=2 $，离心率为 $ \dfrac 1{\cos \theta} $；
$ C_2 $ 的实轴长为 $ 2\sin \theta $，虚轴长为 $ 2\sin \theta \tan \theta $，焦距为 $2\sqrt{\sin^2\theta+{\sin ^2}\theta {\tan ^2}\theta }= 2\tan \theta $，离心率为 $ \dfrac 1{\cos \theta} $．
所以两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，只有离心率相等．
所以 $ C_1 $ 的实轴长为 $ 2\cos \theta $，虚轴长为 $ 2\sin \theta $，焦距为 $ 2\sqrt{\cos ^2\theta+\sin^2\theta}=2 $，离心率为 $ \dfrac 1{\cos \theta} $；
$ C_2 $ 的实轴长为 $ 2\sin \theta $，虚轴长为 $ 2\sin \theta \tan \theta $，焦距为 $2\sqrt{\sin^2\theta+{\sin ^2}\theta {\tan ^2}\theta }= 2\tan \theta $，离心率为 $ \dfrac 1{\cos \theta} $．
所以两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，只有离心率相等．
题目
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